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ag国际馆“专升本”《高等数学》考试大纲


来源: 时间:2017年06月20日 点击率:  字体:增大 减小打印 】【 关闭
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  ag国际馆“专升本”《高等数学》考试大纲

  一、总体要求

  要求考生了解或理解《高等数学》中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及线性代数中的行列式、矩阵、向量、线性方程组的基本概念与基本理论;学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。考生应注意各部分知识的结构及知识的内在联系;应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力;有运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明,准确地计算;能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

  本大纲对内容的要求由低到高,对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次;对方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。

  二、考试内容和要求

  第一部分  函数、极限和连续

  (一)函数

  1.考核知识点

  (1)函数的定义、函数的表示法、分段函数;

  (2)函数的简单性质;

  (3)反函数的定义及图像;

  (4)函数的四则运算与复合运算;

  (5)基本初等函数:幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数;

  (6)初等函数。

  2.考核要求

  (1)理解函数概念,了解函数的表示法,理解函数的三要素,会求函数的定义域;

  (2)了解函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性等定义;

  (3)了解复合函数与反函数的定义,熟练掌握复合函数的复合及分解过程;

  (4)掌握基本初等函数的性质与图像;

  (5)了解初等函数的概念。

  (二)极限

  1.考核知识点

  (1)数列极限的概念,数列极限的性质;

  (2)函数极限的概念:函数 时的极限的定义,左、右极限及其与极限的关系, 趋于无穷( )时函数的极限;

  (3)函数极限的四则运算定理;

  (4)无穷小量与无穷大量的定义,无穷小量与无穷大量的关系,无穷小量与无穷大量的性质,无穷小量的比较;

  (5)两个重要极限:   。

  2.考核要求

  (1)了解各类极限的概念(对极限定义中 的描述不作要求),能根据极限概念分析函数的变化趋势。会求函数在一点处的左极限与右极限;

  (2)了解极限的有关性质,熟练掌握极限的四则运算法则;

  (3)理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系,会进行无穷小量的比较,会运用等价无穷小量代换求极限;

  (4)熟练掌握应用两个重要极限求极限的方法。

  (三)连续

  1.考核知识点

  (1)函数在一点连续的定义,左连续和右连续,函数在一点连续的充分必要条件,函数的间断点及其分类;

  (2)连续函数的四则运算,复合函数的连续性;

  (3)闭区间上连续函数的性质:有界性定理,最大值和最小值定理,介值定理,零点存在定理;

  (4)初等函数的连续性。

  2.考核要求

  (1)理解函数在一点连续与间断的概念,熟练掌握判断简单函数(含分段函数)在一点的连续性的方法,理解函数在一点连续与极限存在的关系;

  (2)会求函数的间断点并判定其类型;

  (3)了解闭区间上连续函数的有界性定理、最值定理、介值定理、零点存在定理,熟练掌握应用零点存在定理证明方程根的存在;

  (4)了解初等函数在其定义区间内连续,会利用连续性求极限。

  第二部分  一元函数微分学

  1.考核知识点

  (1)导数的定义、左导数与右导数、导数的几何意义与物理意义、可导与连续的关系;

  (2)导数的基本公式、导数的四则运算法则;

  (3)复合函数的求导法,隐函数的求导法,对数求导法,由参数方程确定的函数的求导法,分段函数的导数;

  (4)高阶导数的定义,高阶导数的计算;

  (5)微分的定义,微分与导数的关系,微分运算法则,一阶微分形式不变性;

  (6)罗尔中值定理,拉格朗日中值定理;

  (7)洛必达(L’Hospital)法则;

  (8)函数增减性的判定法;

  (9)函数极值与极值点,最大值与最小值;

  (10)曲线的凹凸性,拐点;

  (11)曲线的水平渐近线与铅垂渐近线。

  2.考核要求

  (1)理解导数的概念及其几何意义,了解可导性与连续性的关系,会根据定义求函数在一点处的导数;

  (2)会求曲线上指定点的切线方程与法线方程;

  (3)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法;

  (4)掌握隐函数的求导法、对数求导法,会求由参数方程所确定的函数、反函数及分段函数的导数;

  (5)理解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数;

  (6)理解函数的微分概念,掌握微分运算法则,了解可微与可导的关系,会求函数的微分;

  (7)了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理的内容及几何意义,掌握应用罗尔中值定理证明方程根的存在性,会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式;

  (8)掌握应用洛必达法则求“ ”、“ ” 型未定式的极限的方法,会应用洛必达法则求 “ ”、“ ”、“ ”、“ ”和“ ” 型未定式的极限;

  (9)掌握求函数的单调区间、极值、凹凸区间及拐点的方法,会利用函数的单调性证明简单的不等式,会求一些简单应用问题的最值。

  第三部分  一元函数积分学

  (一)不定积分

  1.考核知识点

  (1)原函数与不定积分的定义,原函数存在定理,不定积分的性质;

  (2)基本积分公式;

  (3)换元积分法:第一换元法(凑微分法),第二换元法;

  (4)分部积分法;

  (5)一些简单有理函数的积分。

  2.考核要求

  (1)理解原函数与不定积分概念及其关系,了解原函数存在定理;

  (2)熟练掌握不定积分性质、不定积分的基本公式及第一换元法和分部积分法;

  (3)掌握不定积分的第二换元法(限于三角代换与简单的根式代换);

  (4)会求简单有理函数的不定积分。

  (二)定积分

  1.考核知识点

  (1)定积分的定义及其几何意义,函数可积的条件;

  (2)定积分的性质;

  (3)变上限的定积分,牛顿一莱布尼茨(Newton - Leibniz)公式,换元积分法,分部积分法;

  (4)无穷区间的广义积分;

  (5)定积分的应用:平面图形的面积,旋转体的体积。

  2.考核要求

  (1)理解定积分的概念与几何意义,了解可积的条件;

  (2)掌握定积分的基本性质;

  (3)了解变上限的定积分是变上限的函数,会对变上限定积分求导数;

  (4)熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式及定积分的换元积分法与分部积分法;

  (5)了解无穷区间广义积分的概念,会求无穷区间广义积分;

  (6)掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积。

  第四部分  向量代数与空间解析几何

  1.考核知识点

  (1)向量的定义,向量的线性运算,向量的数量积;

  (2)平面方程和直线方程的建立;

  (3)球面,母线平行于坐标轴的柱面,旋转抛物面,圆锥面,椭球面。

  2.考核要求

  (1)了解向量的概念,掌握向量的线性运算及向量的数量积;

  (2)会建立平面和直线的方程;

  (3)了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面的方程及其图形。

  第五部分  多元函数微积分学

  (一)多元函数微分学

  1.考核知识点

  (1)多元函数的定义,二元函数的定义域,二元函数的几何意义,二元函数极限与连续的概念;

  (2)偏导数,全微分,二阶偏导数;

  (3)复合函数的偏导数;

  (4)隐函数的偏导数;

  (5)二元函数的无条件极值及条件极值。

  2.考核要求

  (1)了解多元函数的概念、二元函数的几何意义及二元函数的极值与连续概念,会求二元函数的定义域;

  (2)理解偏导数概念,了解全微分概念,了解全微分存在的必要条件与充分条件;

  (3)熟练掌握二元函数的一、二阶偏导数及复合函数一阶偏导数导数计算方法;

  (4)会求二元函数的全微分;

  (5)掌握由方程F(x,y,z)=0所确定的隐函数z=z(x,y)的一阶偏导数的计算方法;

  (6)掌握二元函数的无条件极值及条件极值。

  (二)二重积分

  1.考核知识点

  (1)二重积分的定义,二重积分的几何意义;

  (2)二重积分的性质;

  (3)二重积分的计算;

  (4)二重积分的应用。

  2.考核要求

  (1)理解二重积分的概念及其性质;

  (2)掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法,会用二重积分在极坐标系下的计算方法;

  (3)会用二重积分解决简单的应用问题。

  第六部分  无穷级数

  (一)数项级数

  1.考核知识点

  (1)数项级数的概念,级数的收敛与发散,级数的基本性质,级数收敛的必要条件;

  (2)正项级数敛散性的比较判别法,比值判别法;

  (3)交错级数,绝对收敛,条件收敛,数项级数的莱布尼茨判别法。

  2.考核要求

  (1)理解级数收敛、发散的概念,掌握级数收敛的必要条件,了解级数的基本性质;

  (2)熟练掌握正项级数的比值判别法,会用正项级数的比较判别法;

  (3)掌握几何级数 、调和级数 级数 的收敛性;

  (4)了解级数绝对收敛与条件收敛的概念,会使用莱布尼茨判别法。

  (二)幂级数

  1.考核知识点

  (1)幂级数的收敛半径、收敛区间;

  (2)幂级数的基本性质;

  (3)函数的幂级数展开。

  2.考核要求

  (1)了解幂级数的概念;

  (2)了解幂级数在其收敛区间内的基本性质;

  (3)熟练掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法;

  (4)会运用 的展开式将一些简单的函数展开为 的幂级数。

  第七部分  常微分方程

  (一)一阶微分方程

  1.考核知识点

  (1)微分方程的定义,微分方程阶、解、通解、初始条件和特解;

  (2)可分离变量的方程;

  (3)一阶线性微分方程。

  2.考核要求

  (1)理解微分方程的定义,理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解;

  (2)熟练掌握可分离变量微分方程的解法;

  (3)掌握一阶线性微分方程的解法。

  (二)二阶线性微分方程

  1.考核知识点

  (1)二阶线性微分方程解的结构;

  (2)二阶常系数齐次线性微分方程。

  2.考核要求

  (1)了解二阶线性微分方程解的结构;

  (2)熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

  第八部分  线性代数

  (一)行列式

  1.考核知识点

  (1)行列式的概念;

  (2)行列式的性质;

  (3)克莱姆法则。

  2.考核要求

  (1)了解行列式的概念,掌握行列式的性质;

  (2)熟练掌握四阶以内(含四阶)的行列式的计算;

  (3)会用克莱姆法则解线性方程组。

  (二)矩阵

  1.考核知识点

  (1)矩阵的概念与运算;

  (2)逆矩阵的概念与性质;

  (3)矩阵的初等变换;

  (4)矩阵的秩。

  2.考核要求

  (1)熟练掌握矩阵的线性运算及矩阵的乘法;

  (2)理解矩阵的逆矩阵及矩阵的秩的概念;

  (3)掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法;

  (4)掌握矩阵的初等变换。

  (三)向量

  1.考核知识点

  (1)n维向量的概念及运算;

  (2)向量的线性组合与线性表示;

  (3)向量组线性相关与线性无关;

  (4)向量组的极大线性无关组和向量组的秩。

  2.考核要求

  (1)了解n维向量的概念,会向量的线性运算;

  (2)了解向量的线性组合与线性表示;

  (3)理解向量组线性相关与线性无关的定义,掌握判别向量组线性相关性的方法;

  (4)了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念,会求向量组的极大线性无关组和秩。

  (四)线性方程组

  1.考核知识点

  (1)线性方程组解的性质和解的结构;

  (2)线性方程组解的情况的判定及解法。

  2.考核要求

  (1)理解线性方程组有解的充分必要条件;

  (2)了解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念;

  (3)了解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念;

  (4)熟练掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。

  三、考试方式

  (一)考试方式:闭卷、笔试。

  (二)考试时间:120分钟。

  四、试卷结构

  (一)试卷分数:试卷满分为100分。

  (二)试卷内容比例:第一部分,函数、极限和连续,约占20%;第二部分,一元函数微分,约占15%;第三部分,一元函数积分学,约占20%;第四部分,向量代数与空间解析几何,约占5%;第五部分,多元函数微积分学,约占10%;第六部分,无穷级数,约占8%;第七部分,微分方程,约占7%;第八部分,线性代数,约占15%。

  (三)试题题型及分值:

  1.单选题:每小题2分,10小题,共20分

  2.填空题:每小题2分,10小题,共20分

  3.计算题与应用题:至少8个小题,约50分

  4.证明题:1-2个小题,约10分

  五、参考书目

  1.高等数学(第四、五版),同济大学数学教研室主编,高等教育出版社

  2.高等数学(本科少学时类型),同济大学应用数学系编,高等教育出版社

  3.高等数学,上海市高等专科学校《高等数学编写组》,上海科学技术出版社

  4.经济数学(上、下),经济类数学教材编写组主编,高等教育出版社

  日

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